作者：Zimlink
傅里叶、拉普拉斯变换与Z变换，今天我也来做下这三个变换笔记。无论是通信工程，电子信息工程、生物医学工程、物理、微电子、自动化、电气工程及自动化、计算机等等，这三个变换都必须要学习到，可以这么说，凡是理工科生的如果没学会这三个变换，你的专业等于是白读了，应该是滥竽充数，不过好像说的夸张了些（：。
三个变换，本质上就是套用三个数学公式做了相应的积分变换，在实际工作中这些复杂的变换与计算通常是查表或者用类似matlab 或者mathcad之类的软件去做计算，本笔记主要介绍这三个变换的三个公式的推导，以及三个变换的关联性。关于三个变换原理或者应用方面的知识，不在阐释了，网络上已经有很多这方面的文章。
本笔记参考书籍《信号与系统》-----郑君里版本。
从数学上理解这些变换都属于积分变换,并有相应的关联性。其实只要知道傅里叶变换的公式，后面两个（拉普拉斯与Z变换）都可以通过傅里叶变换变化而来。首先来推导：第一个变换公式傅里叶变换，其次从傅立叶变换中引出拉普拉斯变换，最后Z变换是从抽样信号的拉氏变换中引出。
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傅里叶变换：（频域分析）连续系统：
介绍傅里叶变换前，先解释两个概念 “频谱分析”和“傅立叶级数”，然后从傅里叶级数中引出傅里叶变换的概念。
频谱分析：就是将时域的信号（信号可以是周期与非周期信号）变成频域形式并加以分析的方法称为频谱分析。其目的是把复杂的时域波形，经过某种变换分解为若干单一的谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波和相位信息。这某种变换可以是傅里叶级数，也可以是傅里叶变换进行变换.这两者目的都一样，都是把时域信号变成频域以便于信号分析。
其实傅里叶级数只是属于傅里叶变换的一种特殊的表达形式。
那么什么是傅里叶级数？
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傅立叶级数：
long long ago…(:法国有位数学家叫傅里叶，（：他有了个新发现，任意周期函数（周期信号）可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，这种用三角级数表示形式就是傅里叶级数。但三角级数表示的傅里叶级数有个缺陷就是求频谱系数比较麻烦，所以又想到了通过欧拉公式把三角级数变成了指数级数的表示形式，很明显这不仅仅在求谱系数上,在做积分上指数形式也更简单了，那么用指数形式表示一个信号也是傅里叶级数。
所以傅里叶级数有两种表示形式：分别为三角级数形式和指数级数形式，
这两种表示形式都可以称为傅立叶级数。如公式（a）,(e).
(前面说了对信号做频谱分析可以用傅里叶级数展开，也可以用傅里叶变换，但是通常我们对周期信号是用傅里叶级数展开，而非周期信号用傅里叶变换。)
看了是不是还有点迷糊？那我们就用数学公式来描述吧，这样也许更直观些。
假设有个周期信号f(t)，周期为T1,角频率为ω1=2*π/T1，频率为f1，--------》要做频谱分析怎么办？那就傅里叶数展开吧
▲三角形式的傅里叶级数
图1
有上可见，公式a左边f(t)是一个周期信号，而右边是一个三角函数的线性组合，或也可以成为三角级数表示方式，那么这种三角级数的表示方式就称为傅里叶级数。
但公式（a）有个问题，就是说在每个频率点上可能会有两个三角函数，这不利于信号能量的计算或图形表示，为了便于画图我们做了一些变换，用三角公式中的合角公式对公式（a）进行了转换，把同频率的项加以合并，于是得到了余弦形式的傅里叶级数或正弦形式的傅里叶级数，如式（b）,(c).
图2
由上总结：
1. 一个周期信号可以分解成了直流分量、基波（ω1），和各次谐波（基波角频率整数倍n*ω1）的线性组合。
图3
2，周期信号频谱具有离散型，谐波性，收敛性。
到此三角形式的傅里叶级数已经介绍完，但是我们发现三角形式还存在一些问题，我们前面也有提到过，求谱系数不好求，做积分也不好做，怎么办？于是想到通过欧拉公式转换到指数形式的傅里叶级数。
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图4
图5
但是这两个公式都应用于周期信号的频谱分析，那么对非周期信号我们怎么做呢？于是傅里叶拿出了专门准对非周期信号频谱分析的公式，这个公式就是我们说的傅里叶变换，其实这个公式就是从傅里叶级数公式中演变过来，下面介绍怎么从傅里叶级数中变出这个傅里叶变换的公式。
傅里叶变换的引出
什么是傅里叶变换？一句话，傅里叶变换就是把一个信号，（这个信号可以是周期与非周期信号）分解成无数的正弦波信号的相加的一种变换。（它属于一种积分变换）这些信号可能幅值，频率相位各不相同的信号。其实这个概念跟傅里叶级数是相似的，但是不同地方傅里叶变换还可以对非周期信号进行频谱分析,那么下面就开始推导这个公式。
图6
图7
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拉普拉斯变换：（复频域分析）连续系统：
做傅里叶变换有个条件，满足狄里赫利条件，要求信号f(t)绝对可积，此条件限制了某些上升信号如eat,无法求傅里叶变换，为了使这样更多类似信号存在变换，引入了一个衰减因子e^(-σt),即在原信号f(t)乘以 e^(-σt),这样绝对可积条件满足，就可以求出e^(-σt)*f(t)的傅氏变换了，公式如下。
图8
******************************************************************************************到此拉谱拉氏变换公式求出，如式(F2)是单边的拉氏变换，双边拉氏变换只是把积分下限0改成-∞，如上所述，拉氏变换是在傅氏变换基础上了引入衰减因子，它把f(t)分解成无限多个变幅、振荡之和，并振幅随e^σt变化，它把傅氏的频域分析延伸到了复频域分析，它可以说是傅氏的升级版本。它最明显好处是把微分方程变成代数方程求解，从而使计算简化。
在自动控制理论中对控制系统的分析和综合，都是建立在拉氏变换的基础上的，由此可见搞控制专业的这个拉氏变换是非常重要。
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Z变换：（Z域分析）离散系统：
在离散系统或数字控制系统中出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是Z变换就提了出来。Z变换最明显优点是它把离散系统的数学模型----差分方程变成了简单的代数方程，这使求解变得简化，也便于写程序。
其实z变换就是借助抽样信号的拉氏变换引出。
首先抽样信号xs(t)如式：
图9
式中x(t)为一个连续的因果信号，δ_T (t)为冲激序列，它实际上一个周期的冲激信号，因具有抽样性，所以两者相乘后的实际意义就是对X(t)连续信号的采样，其中抽样间隔为T。
我们知道因果信号起始时刻为零，于是在t<0的时间范围内f(t)=0,这样(z1)积分下限改从零开始。
所以（z1）式变成了（z2）式，然后对（z2）取拉氏变换。
即对信号xs(t)乘一个衰减因子e-st，然后再积分，这就是拉氏变换，如式（z3）。
图10
公式(z6)就是Z变换的公式了。
注意：与拉氏变换一样,Z变换也有单边Z变换与双边Z变换之分，同样双边Z变换,只是把n下限有0改成-∞，
所以公式(Z6)为单边的Z变换，而因为我们通常用的都是单边Z变换所以这里只列出单边Z变换的公式。
到此傅里叶，拉普拉斯，Z变换的三个公式已经全部求出。
这是我今年，2017年02月-写的笔记，现传到知乎，以后有时间还会发几篇我之前写过的学习笔记。--目前正在写的PID学习笔记以后也会陆续上转。
目前主要研究方向-硬件底层驱动-机器人伺服动力控制、机器人ROS操作系统、电机控制
同时，学习 人工智能-深度学习-机器学习-神经网络！希望能在知乎里能认识更多同行，认识更多朋友，老师、在读学生也可以，兴趣相投不计较年长还是年幼。